이항 대수적 구조
지금까지 "연산을 집합 S에 대하여 이항연산 ∗가 있을 때..."라고 표현을 했다.
앞으로 이를 간략화 하여 (S,∗)로 표기하고 이항 대수적 구조(binary algebraic structure)라고 부른다.
(R,+)같은 경우는 실수의 덧셈 연산에 대한 이항 대수적 구조라고 보면 된다.
동형 이항 구조
두 이항구조가 구조적으로 같기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.
두 이항구조 (S,∗),(S′,∗′),x∈S,x′∈S′에서
만약 x↔x′,y↔y′이면 x∗y↔x′∗′y′인 일대일 대응관계를 만족해야 한다.
여기서 x↔x′를 ϕ(x)=x′로 나타낼 수 있다.
여기에서 마지막 관계 ϕ(x∗y)=ϕ(x)∗′ϕ(y)를 만족하면 S,S′은 동형 이항구조(isomorphic binary structures)가 된다. 여기서 ϕ는 동형사상(isomorphism)이 된다.
1절에서 복소수 설명할 때 나온 동형사상이 여기서 나온다. ϕ(θ)=eiθ로 놓으면 되기 때문이다.
동형임을 보이는 방법
1. (S,∗)→(S′,∗′)에 동형사상이 되는 ϕ를 정의한다.
2. S′에서 ϕ(x)=ϕ(y)일 때 S에서 x=y임을 보인다.(일대일 함수)
3. ϕ가 S′위로 사상임을 보인다. s′∈S′가 주어질 때 ϕ(s)=s′인 s∈S가 존재함을 보인다.
4. 모든 x,y∈S에 대해 ϕ(x∗y)=ϕ(x)∗′ϕ(y)임을 보인다.
이를 사용해서 1절에 나온 복소수에서의 동형임을 보여보자.
우선 C1={a+bi|a,b∈R,a2+b2=1} 라고 하면 (R2π,+2π) 에 (C1,×)가 동형임을 보일것이다.
우선 z,z1,z2∈C1, θ,θ1,θ2∈R2π가 있다고 하자
1. ϕ(θ)=eiθ로 둔다.
2. ϕ(θ1)=ϕ(θ2)⇔eiθ1=eiθ2
양 변에 자연 로그를 취하면 iθ1=iθ2⇔θ1=θ2가 된다.
3. z=eiθ이면 θ=−ilnz이고 ϕ(θ)=eiθ=ei(−ilnz)=elnz=z가 되어 ϕ는 C1로 사상한다.
4. ϕ(θ1+θ2)=ei(θ1+θ2)=eiθ1eiθ2=ϕ(θ1)ϕ(θ2)
따라서 ϕ는 동형사상이 된다.
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