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수학/현대대수학

[현대대수학] 3. 동형 이항구조

riroan 2021. 12. 14. 01:09

이항 대수적 구조

지금까지 "연산을 집합 S에 대하여 이항연산 가 있을 때..."라고 표현을 했다.

앞으로 이를 간략화 하여 (S,)로 표기하고 이항 대수적 구조(binary algebraic structure)라고 부른다.

 

(R,+)같은 경우는 실수의 덧셈 연산에 대한 이항 대수적 구조라고 보면 된다.

 

동형 이항 구조

두 이항구조가 구조적으로 같기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.

두 이항구조 (S,),(S,),xS,xS에서

만약 xx,yy이면 xyxy인 일대일 대응관계를 만족해야 한다.

여기서 xxϕ(x)=x로 나타낼 수 있다.

여기에서 마지막 관계 ϕ(xy)=ϕ(x)ϕ(y)를 만족하면 S,S동형 이항구조(isomorphic binary structures)가 된다. 여기서 ϕ동형사상(isomorphism)이 된다.

 

1절에서 복소수 설명할 때 나온 동형사상이 여기서 나온다. ϕ(θ)=eiθ로 놓으면 되기 때문이다.

 

동형임을 보이는 방법

1. (S,)(S,)에 동형사상이 되는 ϕ를 정의한다.

2. S에서 ϕ(x)=ϕ(y)일 때 S에서 x=y임을 보인다.(일대일 함수)

3. ϕS위로 사상임을 보인다. sS가 주어질 때 ϕ(s)=ssS가 존재함을 보인다.

4. 모든 x,yS에 대해 ϕ(xy)=ϕ(x)ϕ(y)임을 보인다.

 

이를 사용해서 1절에 나온 복소수에서의 동형임을 보여보자.

우선 C1={a+bi|a,bR,a2+b2=1} 라고 하면 (R2π,+2π)(C1,×)가 동형임을 보일것이다.

우선 z,z1,z2C1, θ,θ1,θ2R2π가 있다고 하자

1. ϕ(θ)=eiθ로 둔다.

2. ϕ(θ1)=ϕ(θ2)eiθ1=eiθ2

양 변에 자연 로그를 취하면 iθ1=iθ2θ1=θ2가 된다.

3. z=eiθ이면 θ=ilnz이고 ϕ(θ)=eiθ=ei(ilnz)=elnz=z가 되어 ϕC1로 사상한다.

4. ϕ(θ1+θ2)=ei(θ1+θ2)=eiθ1eiθ2=ϕ(θ1)ϕ(θ2)

따라서 ϕ는 동형사상이 된다.

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