[현대대수학] 3. 동형 이항구조

이항 대수적 구조

지금까지 "연산을 집합 $S$에 대하여 이항연산 $*$가 있을 때..."라고 표현을 했다.

앞으로 이를 간략화 하여 $(S, *)$로 표기하고 이항 대수적 구조(binary algebraic structure)라고 부른다.

 

$(\mathbb{R},+)$같은 경우는 실수의 덧셈 연산에 대한 이항 대수적 구조라고 보면 된다.

 

동형 이항 구조

두 이항구조가 구조적으로 같기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.

두 이항구조 $(S, *), (S', *'), x \in S, x' \in S'$에서

만약 $x \leftrightarrow x', y \leftrightarrow y'$이면 $x*y \leftrightarrow x' *' y'$인 일대일 대응관계를 만족해야 한다.

여기서 $x \leftrightarrow x'$를 $\phi(x) = x'$로 나타낼 수 있다.

여기에서 마지막 관계 $\phi(x*y) = \phi(x)*'\phi(y)$를 만족하면 $S, S'$은 동형 이항구조(isomorphic binary structures)가 된다. 여기서 $\phi$는 동형사상(isomorphism)이 된다.

 

1절에서 복소수 설명할 때 나온 동형사상이 여기서 나온다. $\phi(\theta) = e^{i\theta}$로 놓으면 되기 때문이다.

 

동형임을 보이는 방법

1. $(S, *) \rightarrow (S', *')$에 동형사상이 되는 $\phi$를 정의한다.

2. $S'$에서 $\phi(x)=\phi(y)$일 때 $S$에서 $x=y$임을 보인다.(일대일 함수)

3. $\phi$가 $S'$위로 사상임을 보인다. $s' \in S'$가 주어질 때 $\phi(s) = s'$인 $s \in S$가 존재함을 보인다.

4. 모든 $x, y \in S$에 대해 $\phi(x*y)=\phi(x)*'\phi(y)$임을 보인다.

 

이를 사용해서 1절에 나온 복소수에서의 동형임을 보여보자.

우선 $\mathbb{C_1}=\{a+bi|a,b \in \mathbb{R}, a^2+b^2=1\}$ 라고 하면 $(\mathbb{R_{2\pi}}, +_{2\pi})$ 에 $(\mathbb{C_1}, \times)$가 동형임을 보일것이다.

우선 $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C_1}$, $\theta, \theta_1, \theta_2 \in \mathbb{R_{2\pi}}$가 있다고 하자

1. $\phi(\theta) = e^{i\theta}$로 둔다.

2. $\phi(\theta_1) = \phi(\theta_2) \Leftrightarrow e^{i\theta_1} = e^{i\theta_2}$

양 변에 자연 로그를 취하면 $i\theta_1 = i\theta_2 \Leftrightarrow \theta_1=\theta_2$가 된다.

3. $z = e^{i\theta}$이면 $\theta = -i\ln{z}$이고 $\phi(\theta) = e^{i\theta} = e^{i(-i\ln{z})} = e^{\ln{z}} = z$가 되어 $\phi$는 $\mathbb{C_1}$로 사상한다.

4. $\phi(\theta_1+\theta_2) = e^{i(\theta_1+\theta_2)}=e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = \phi(\theta_1)\phi(\theta_2)$

따라서 $\phi$는 동형사상이 된다.