[현대대수학] 1. 소개와 예

우리가 늘 하던 덧셈과 곱셈은 두개의 항을 가지고 연산을 한다. 그래서 우리는 이 연산을 이항연산이라고 부른다.(코딩할때와 비슷한 개념같다.)

$x + x = a \space (a \in \mathbb{R})$ 인 경우 $x = \frac{a}{2}$ 라는 것을 안다.

하지만 $a<0$일 때 $x^2=a$는 $\mathbb{R}$에서 근을 구할 수 없으므로 덧셈과 곱셈은 $\mathbb{R}$에서 다른 대수적 구조를 이룬다고 말한다.

 

이렇듯 늘 당연하게 여겨온 개념들을 다시 생각해보자는 개념으로 책을 시작한다.

 

복소수

복소수는 실수에서 확장해 우리가 알고있는 허수 $( \sqrt{-1} = i)$가 들어있는 집합이다.

그 집합을 다음과 같이 나타낸다.

$\mathbb{C} = \{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\}$

 

$z_1 = a+bi, z_2=c+di$ 라고 할때 연산은 다음으로 정의한다.

$z_1 \pm z_2 = (a+bi)\pm(c+di) = (a+c) \pm (b+d)i$

$z_1z_2 = (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i$

$|z_1| = \sqrt{a^2+b^2}$

 

또한 복소수를 다음과 같이 극형식으로 나타낼 수 있다.

$e^{i\theta}=cos\theta + isin\theta \space (0 \le \theta \lt 2\pi)$

$\theta$는 복소평면에 점을 찍을 때 양의 실수축과 이루는 각도이다.

양 변에 적당한 실수를 곱하면 복소평면의 모든 점을 나타낼 수 있다.

 

여기서 $0 \le \theta \lt 2\pi$이기 때문에 가능한 $\theta$들의 집합을 $\mathbb{R_{2\pi}}$로 나타낸다.

($\mathbb{R_{a}}$는 $[0, a)$에 속하는 실수 집합, $\mathbb{R^{+}}$는 양의 실수 집합, $\mathbb{R^{*}}$는 0을 제외한 실수 집합이다.)

$z_1 = e^{i\theta_1}, z_2 = e^{i\theta_2}$이면 $z_1z_2=e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+_{2\pi}\theta_2)}$가 된다.

$+_{a}$는 덧셈 결과가 $a$보다 큰 경우 $a$를 빼는 법 연산이다.

위의 연산에서 $z\leftrightarrow \theta$가 일대일 대응이고 복소수 곱셈과 $+_{2\pi}$는 같은 대수적 성질을 가진다는 것을 알 수 있다.

$z_1 \leftrightarrow \theta_1$ 이고 $z_2 \leftrightarrow \theta_2$이면 $z_1z_2 \leftrightarrow (\theta_1 +_{2\pi}\theta_2)$는 동형사상이라고 말할 수 있다.