[현대대수학] 4. 군

군

군(Group) $\langle G, *\rangle$는 이항연산 $*$아래에 닫혀있고 다음 공리를 만족하는 집합 $G$이다.

$\mathcal{G_1}$: 모든 $a,b,c \in G$에 대해 $(a*b)*c=a*(b*c)$을 가진다. (결합법칙)

$\mathcal{G_2}$: 모든 $x \in G$에 대해 $e*x=x*e=x$인 $e \in G$가 존재한다. ($*$에 대한 항등원의 존재)

$\mathcal{G_3}$: $a \in G$에 대응하는 $a'*a=a*a'=e$인 $a' \in G$가 존재한다.($a$의 역원 존재)

특히 군이면서 연산 $*$가 가환인경우 Abel군(Abelian group)이라고 한다.

 

즉 군이란 결합법칙, 항등원, 각 원소에 대한 역원을 가진 이항연산을 갖춘 집합이라고 볼 수 있다.

 

위 정의에 따르면 늘 사용하던 $\langle \mathbb{R}, + \rangle$는 군이다.(특히 아벨군이다.)

하지만 $\langle \mathbb{R}, \times \rangle$는 군이 되지 않는다.

$0$에 대한 역원이 존재하지 않기 때문이다.

따라서 다음과 같이 수정하면 군이 될 수 있다.

$\langle \mathbb{R^*}, \times \rangle$