[현대대수학] 5. 부분군

지금까지는 이항연산의 예를 들기 위해 $*$기호를 사용하였지만 앞으로는 기호를 다음과 같이 표기하기로 한다.

	군(Group)	아벨군(Abelian group)
$a*b$	$ab$	$a+b$
항등원	$1$	$0$
역원	$a^{-1}$	$-a$
$\overbrace{a*a*\cdots *a}^{\rm n}$	$a^n = \overbrace{aa\cdots a}^{\rm n}$	$na = \overbrace{a+a+\cdots +a}^{\rm n}$

 

단순 덧셈, 곱셈기호같이 보이지만 실제로 덧셈, 곱셈의 역할을 하는 것은 아니다. 군에서의 이항연산을 표기만 저렇게 하는 것이다.(생각보다 편리한 부분이 많은 것 같다.)

 

위수

군$G$에 속하는 원소의 개수를 $G$의 위수(order) $|G|$라고 한다.

 

부분군

군 $G$의 부분집합 $H$가 $G$의 이항연산 아래 닫혀 있고, $G$로부터 유도된 연산을 가지는 $H$가 군이면 $H$는 $G$의 부분군(subgroup)이라고 하고 $H \le G, G \ge H$로 표기한다. $H<G$는 $H \le G$이지만 $H \ne G$를 의미한다.

$G$자체는 $G$의 비진부분군(improper subgroup)이다.

$H<G$인 군 $H$는 $G$의 진부분군(proper subgroup)이다.

$\{e\}$는 $G$의 자명(trivial)부분군이다.

$\{e\}$가 아닌 모든 $G$의 부분군은 비자명(nontrivial)부분군이다.

 

군을 집합에 대응시켜보니 이해하기가 편한 것 같다.

 

부분군이 될 조건

1. $H$가 $G$의 이항연산 아래 닫혀있다.

2. $G$의 항등원이 $H$에 속한다.

3. 모든 $a \in H$에 대해 $a^{-1} \in H$이다.

 

예를 들어 $\langle \mathbb{Q^+}, \cdot \rangle$이 $\langle \mathbb{R^+}, \cdot \rangle$의 진부분군임을 보여보자.

1. $p, q \in \mathbb{Q^+}$에서 $p=\frac{n_1}{n_2}, p=\frac{m_1}{m_2} n_1, n_2, m_1, m_2 \in \mathbb{Z^+}$이면 $pq = \frac{n_1m_1}{n_2m_2} n_1m_1, n_2m_2 \in \mathbb{Z^+}$가 되므로 $pq \in \mathbb{Q^+}$이다.

2. $\mathbb{R^+}$의 항등원 $1$은 $\mathbb{Q^+}$의 원소이다.

3. $p = \frac{n_1}{n_2} n_1, n_2 \in \mathbb{Z^+}$에서 $p^{-1} = \frac{n_2}{n_1} \in \mathbb{Q^+}$가 된다.

세 조건을 모두 만족하고 $\mathbb{Q^+} \subset \mathbb{R^+}$이므로 진부분군이 된다.

 

부분군임을 보이는 편한 방법

모든 $a,b \in H$에 대해 $ab^{-1} \in H$인 경우 $H$는 군$G$의 부분군이다.

 

이를 사용해서 위의 예를 다시 풀어보자.

$p, q \in \mathbb{Q^+}$에서 $p=\frac{n_1}{n_2}, q=\frac{m_1}{m_2}$  $n_1, n_2, m_1, m_2 \in \mathbb{Z^+}$에서 $pq^{-1} = \frac{n_1m_2}{n_2m_1} \in \mathbb{Q^+}$이므로 부분군이다.