[현대대수학] 2. 이항연산

이항연산(binary operation)

어떤 집합 $S$에서 이항연산 $*$가 $S \times S \rightarrow S$인 사상이다.

순서쌍 $(a,b)\in S \times S$에 대해 $S$의 원소 $*((a,b))=a*b$로 나타낸다.

 

이를 우리가 평소 하던 실수 덧셈에 대입해 보자면

$S = \mathbb{R}, *=+$

가 된다.

 

이항연산에서 핵심은 순서쌍의 집합과 연산 결과의 집합이 같아야 한다는 것이다.

이를테면 다음은 이항연산이 아니다.

$S = \mathbb{Z^+}, *=-$

$a=1, b=3$을 선택할 경우 $a-b=-2$가 되어 $\mathbb{Z^+}$에 포함되지 않기 때문이다.

 

유도된 연산(induced operation)

$*$가 $S$위에서 이항연산이고 $H \subset S$일 때 모든 $a,b \in H$에 대해 $a*b \in H$인 경우 $H$는 $*$에 관하여 닫혀 있다라고 한다. 

이 경우 $*$를 $H$위에서 유도된 연산 이라고 한다.

 

쉽게 말해 부분집합안에서 같은 연산을 수행했을 때 결과가 해당 부분집합 안에 있으면 되는것같다.

예를들어 $\mathbb{R^{*}} \subset \mathbb{R}$에서 $+,-$는 유도된 연산이 아니다.

$2+(-2)=0, 3-3=0$인데 $0\notin \mathbb{R^{*}}$이기 때문이다.

그런데 $*,/$은 결과로 $0$이 나오지 않기 때문에 유도된 연산이 된다.

 

가환(commutative)

집합 $S$위에서 이항연산 $*$가 있을 때 모든 $a,b\in S$에 대해 $a*b=b*a$이면 가환이다.

 

결합적(associative)

집합 $S$위에서 이항연산 $*$가 있을 때 모든 $a,b,c\in S$에 대해 $(a*b)*c=a*(b*c)$이면 결합적이다.

 

고등학교때 배운 교환법칙, 결합법칙과 큰 차이가 없어보인다.

$\mathbb{R}$에서 $+,\times$는 가환이고 결합적이지만 $-,/$는 가환도 아니고 결합적이지도 않다.