[현대대수학] Resultant 활용 - 음함수 찾기

지난 시간 가볍게 알아본 Resultant를 활용해보자. 가환대수학에 포함되는 Elimination Theory에 있는 매개변수 함수를 음함수로 나타내는 법을 알아볼 것이다. 아직 Resultant의 성질은 알아보지 않았지만 그래도 충분하다.

 

음함수와 매개변수 함수

수학적인 함수를 표현하는 다양한 방법이 있다. $y = f(x)$같이 나타내는 양함수(Explicit function), $F(x,y) = 0$같이 나타내는 음함수(Implicit function), $x = f(t), y = g(t)$로 나타내는 매개변수 함수(Parameterized function)가 그 예시이다. 각 표현에 있어서 장단점이 있고 여기에서는 음함수와 매개변수 함수에 주목한다.

 

우리의 질문은 "매개변수로 표현된 함수를 음함수로 바꿀 수 있을까?"이다. 이는 Resultant를 사용하면 상당히 편리하게 구할 수 있다.

 

매개변수 함수를 음함수로 표현하기

$x = f(t), y = g(t)$로 나타난 매개변수 함수를 $F(x,y) = 0$모양인 음함수로 변경한다고 하자. 그 방법은 굉장히 간단하다.

$u(t) = f(t) - x, v(t) = g(t) - y$로 두고 $Res(u, v, t) = 0$인 resultant를 구하면 된다.

 

예를 들어, $x = t^2, y = t^2 + 1$으로 나타난 매개변수 함수가 있다고 하자. 직관적으로 $y=x+1 (x \ge 0)$임을 알 수 있지만 resultant를 사용하여 검증해보자.

$ u(t) = t^2 - x, v(t) = t^2 + 1 - y$이므로 우리는 $Res(u, v, t) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -x & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -x \\ 1 & 0 & 1-y & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1-y  \end{vmatrix}$를 구하면 된다.

3행에서 1행을 빼고 4행에서 2행을 뺀 후 주 대각선을 곱하면 $(x+1-y)^2 = 0$인 결과가 나온다. 양변 루트를 취해주면 $x+1-y=0$이 나오므로 직관적으로 예상했던 결과와 맞아 떨어진다. 이 예시는 쉬운 예시여서 직관이 통했지만 어려운 매개변수 함수에서는 효율적일 것이다.

 

왜 Resultant가 음함수를 찾아주는가?

그럼 이제 왜 매개변수 함수에 Resultant를 취해준 것 만으로 음함수 형식을 찾을 수 있었을까? $Res(f,g,x) = 0$이면 $f, g$는 공통 근을 가진다는 점을 상기하자. 

매개변수 함수 $x = f(t), y=g(t)$에 대응되는 음함수 $F(x, y) = 0$이 존재한다고 하자. $F(x_0, y_0) = 0$인 좌표쌍 $(x_0, y_0)$이 존재한다면 $x_0 = f(t_0), y_0 = g(t_0)$이어야 한다. 즉, $x_0, y_0$에 대응되는 $f, g$의 공통근 $t_0$이 존재해야 한다는 것이다. 이러한 공통근이 모든 $t$에 대해 존재해야 하므로 resultant를 $t$에 대해 취해주는 것 만으로 음함수 표현식을 찾아낼 수 있다.

 

References

https://www.youtube.com/watch?v=pjnq5LP1ESY